您现在的位置是: 首页 > 招生信息 招生信息

高考数学不等式题_高考不等式题

tamoadmin 2024-05-29 人已围观

简介1.数学问题:在试卷不等式问题中怎么求未知数!特急我快高考了!2.高考数学 当x的系数不同时怎么用绝对三角不等式? 如题 用绝对三角不等式有两种答案3.求高考数学压轴题不等式证明心得思路1常数代换例1:x,y 均为正实数,且 2x+y=1,求 1/x + 1/y 的最小值。本题较简单,在原式上乘以1,即2x+y即可:例2:x,y 均为正实数,且 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值本题表面不

1.数学问题:在试卷不等式问题中怎么求未知数!特急我快高考了!

2.高考数学 当x的系数不同时怎么用绝对三角不等式? 如题 用绝对三角不等式有两种答案

3.求高考数学压轴题不等式证明心得思路

高考数学不等式题_高考不等式题

1

常数代换

例1:x,y 均为正实数,且 2x+y=1,求 1/x + 1/y 的最小值。

本题较简单,在原式上乘以1,即2x+y即可:

例2:x,y 均为正实数,且 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值

本题表面不存在常数,但只要将题设条件左右同时除以 5xy,即出现常数1。

2

换元

换元的关键在于务必保留约束条件的全部信息。

例3:x,y 均为正实数,且 x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值

本例似乎无法使用常数代换,考虑换元法。

可令:p=x+2y,q=2xy,于是 p+q=8,但仅仅这样的话,并没有保留约束条件的全部信息,比如:p=2,q=6,是符合 p+q=8 这个约束条件的,但很明显

这个方程组是无法解得 x,y 的正实数解的。

即 p+q=8 并没有保留原始约束条件的全部信息,我们需要再加上其他的约束条件:

故:

上述条件即保留了完整约束信息,满足上述条件的 p,q 实数对,必然能联立解出 x,y 的正实数解。

将 q=8-p 代入②式:

解关于 p 的二次不等式且 p>0,解得 p=x+2y≥4,即 x+2y 的最小值为 4,当 x=2,y=1 时等号成立。

3

二次分式值域

上述两种方法,可以解决高考中均值不等式的大部分问题。除此之外,还有一些问题可能间接的用到均值不等式,比如二次分式值域问题。

例4:求二次分式

的值域

类似的题目,常数分离都是首要思路之一

法一:

如果此时分子只有一次项,则可以上下同除以 x,利用均值不等式或者对钩函数性质求解。但上式还包含常数项,能否使用同样的思路呢?只需简单的换元即可:

令:t=3x+2,则:x=t/3-2/3

则:

此时,可以根据均值不等式或对钩函数性质解得函数值域为 [ 5/7 , 3] 。

(注意:最终的⑤式中,分子不可能等于0,即⑤式不可能等于2,这是因为上下同除以了t,但原函数中t=0,即 x=-2/3 时,y 可以等于2。)

还有一种比较直观的通用解法,即判别式法。

判别式法的基本思路是:如果y能取到某一个值,则必有一个实数x与这个y值相对应,即y的取值必须满足x有实数解。

法二:

解:原函数可化为:

整理得:

当 y=2 时,x=-2/3

当 y≠2 时,关于x的二次方程:

所以,综上可得函数值域为 [ 5/7 , 3]。

对所有二次分式值域问题,都可考虑用判别式法求解,但要注意变形后二次项系数是否为零及二次分式分母为零等问题,至于最终的代数结论,形式过于复杂

数学问题:在试卷不等式问题中怎么求未知数!特急我快高考了!

因为当a+b=1时你的-ab并不是最小的,你这样算其实默认了a+b=1时-ab有最小值。

或者你这样理解,仅当a=b=无穷大时,-ab能取到最小值负无穷大,但此时前面部分不能取到最小值.

我有个思路,你的第一步没有问题,再用(a+b)?≥4ab,将2ab替换为(a+b)?/2,a=b成立

再设a+b=x,化简后得到x?/2+1/x?,最小值根号2?

高考数学 当x的系数不同时怎么用绝对三角不等式? 如题 用绝对三角不等式有两种答案

基本概念

不等式是用用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.例如2x+2y≥2xy,sinx≤1,ex>0 ,2x<3,5x≠5等 。根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式;也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式,就称为超越不等式。例如lg(1+x)>x是超越不等式。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地,用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号) “≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。 通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等号也可以为<,≥,> 中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。

需要用到的不等式的性质

①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y; ②如果x>y,y>z;那么x>z; ③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z; ④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz; ⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z。 ⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n(充分不必要条件) ⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn ⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数) 如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,以下是其中比较有名的。

可遵循的一些同解原理

主要的有: ①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。 ②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。 ③如果不等式F(x)<G(x) 的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。 ④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。

注意事项

1.符号: 不等式两边都乘以或除以一个负数,要改变不等号的方向。 2.确定解集: 比两个值都大,就比大的还大; 比两个值都小,就比小的还小; 比大的大,比小的小,无解; 比小的大,比大的小,有解在中间。 三个或三个以上不等式组成的不等式组,可以类推。 3.另外,也可以在数轴上确定解集: 把每个不等式的解集在数轴上表示出来,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

解不等式组

解不等式组,可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集,然后分别在数轴上表示出来。 以两条不等式组成的不等式组为例, ①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小” ②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大” ③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集,此时一般表示为a<x<b,或a≤x≤b。此乃“相交取中” ④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。 5若两个未知数的解集出现如:x≤1,y≥1,则解只有1. (2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解. 分析:对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”;(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零.在求解过程中注意正确运用不等式性质. 解: ∴ 120-8x≥84-3(4x+1) (2)∵10(x+4)+x≤84 ∴10x+40+x≤84 ∴11x≤44 ∴x≤4 因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0. 例5 解关于x的不等式 (1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)>n(n-x) 分析:解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度.此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力:它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明). 解:(1)∵ax+2≤bx-1 ∴ax-bx≤-1-2 即 (a-b)x≤-3 此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式. 即(n-m)x>n2-m2 当m>n时,n-m<0,∴x<n+m; 当m<n时,n-m>0,∴x>n+m; 当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解.这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立. 例6 解关于x的不等式 3(a+1)x+3a≥2ax+3. 分析:由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理. 解:去括号,得 3ax+3x+3a≥2ax+3 移项,得 3ax+3x-2ax≥3-3a 合并同类项,得 (a+3)x≥3-3a (3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12 这个不等式无解. 说明:在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论. 例7 m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)=4(5-x)的解是非正数. 分析:根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围.注意:“非正数”是小于或等于零的数. 解:由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x 可解得 8x=20+17m 已知方程的解是非正数,所以 例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是:(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围. 分析:要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之).这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围.这里要强调的是本题不是直接去解不等式,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用. 解:由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3 可解得 -2x=8k-4 即 x=2(1-2k) (1)已知方程的解是非负数,所以 (2)已知方程的解是负数,所以 例9 当x在什么范围内取值时,代数式-3x+5的值: (1)是负数 (2)大于-4 (3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9 分析:解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号. 解:(1)根据题意,应求不等式 -3x+5<0的解集 解这个不等式,得 (2)根据题意,应求不等式 -3x+5>-4的解集 解这个不等式,得 x<3 所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4. (3)根据题意,应求不等式 -3x+5<-2x+3的解集 -3x+2x<3-5 -x<-2 x>2 所以当x取大于2的值时,-3x+5的值小于-2x+3. (4)根据题意,应求不等式 -3x+5≤4x-9的解集 -3x-4x≤-9-5 -7x≤-14 x≥2 所以当x取大于或等于2的值时,-3x+5的值不大于4x-9. 例10 分析: 解不等式,求出x的范围. 解: 说明:应用不等式知识解决数学问题时,要弄清题意,分析问题中数量之间的关系,正确地表示出数学式子.如“不超过”即为“小于或等于”,“至少小2”,表示不仅少2,而且还可以少得比2更多. 例11 三个连续正整数的和不大于17,求这三个数. 分析: 解:设三个连续正整数为n-1,n,n+1 根据题意,列不等式,得 n-1+n+n+1≤17 所以有四组:1、2、3;2、3、4;3、4、5;4、5、6. 说明:解此类问题时解集的完整性不容忽视.如不等式x<3的正整数解是1、2,它的非负整数解是0、1、2. 例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内,现要求热水温度不超过40℃,如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃,问通电最多多少分钟,水温才适宜? 分析:设通电最多x分钟,水温才适宜.则通电x分钟水温上升了0.9x℃,这时水温是(18.4+0.9x)℃,根据题意,应列出不等式18.4+0.9x≤40,解得,x≤24. 答案:通电最多24分,水温才适宜. 说明:解答此类问题时,对那些不确定的条件一定要充分考虑,并“翻译”成数学式子,以免得出失去实际意义或不全面的结论. 例13 矿山爆破时,为了确保安全,点燃引火线后,人要在爆破前转移到300米以外的安全地区.引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米? 解:设引火线长为x厘米, 根据题意,列不等式,得 解之得,x≥48(厘米) 答:引火线至少需要48厘米. *例14 解不等式|2x+1|<4. 解:把2x+1看成一个整体y,由于当-4<y<4时,有|y|<4,即-4<2x+1<4, 巧解一元一次不等式 怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式?现结合实例介绍一些技巧,供参考. 1.巧用乘法 例1 解不等式0.25x>10.5. 分析 因为0.25×4=1,所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便. 解 两边同乘以4,得x>42. 2.巧用对消法 例2 解不等式 解 原不等式变为 3.巧用分数加减法法则 故 y<-1. 4.逆用分数加减法法则 解 原不等式化为 , 5.巧用分数基本性质 例5 解不等式 约去公因数2后,两边的分母相同;②两个常数项移项合并得整数. 例6 解不等式 分析 由分数基本性质,将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算. 解 原不等式为 整理,得8x-3-25x+4<12-10x, 思考:例5可这样解吗?请不妨试一试. 6.巧去括号 去括号一般是内到外,即按小、中、大括号的顺序进行,但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径. 7.逆用乘法分配律 例8 解不等式 278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)>0. 分析 直接去括号较繁,注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题. 解 原不等式化为 (x-3)(278-351×2+463)>0, 即 39(x-3)>0,故x>3. 8.巧用整体合并 例9 解不等式 3{2x-1-[3(2x-1)+3]}>5. 解 视2x-1为一整体,去大、中括号,得3(2x-1)-9(2x-1)-9>5,整体合并,得-6(2x-1)>14, 9.巧拆项 例10 解不等式 分析 将-3拆为三个负1,再分别与另三项结合可巧解本题. 解 原不等式变形为 得x-1≥0,故x≥1

考试愉快!!!!

求高考数学压轴题不等式证明心得思路

方法一、去绝对值

|x+1|+|2x-1|=3x ,x≥1/2

-x+2 -1≤x<1/2

-3x , x<-1

这下面你会

方法二、|x+1|+|2x-1|=|x+1|+|x-1/2|+|x-1/2|

=|x-(-1)|+|x-1/2|+|x-1/2|

根据数轴上的点之间的距离,结合绝对值几何意义。就行了。

方法三、绝对值三角不等式适合系数一样的绝对值。

这里我们引入多维形式的绝对值不等式,

设a1<a2<...<an

|x-a1|+|x-a2|+...+x-an|

n为奇数时,x=中间项时,取最小值。

这个方法,自主招生考试之类的书上,专门有讲述。

|x+1|+|2x-1|=|x+1|+|x-1/2|+|x-1/2|

这里x=1/2时,取最小值3/2

高考中,一般去绝对值。

一。放缩,基本放缩要很熟练(如lnx和x-1),熟练到你有意识要用这基本放缩。还有就是用前俩问得出的结论进 行放缩(并不一定是前俩问要证明的东西,可能是证明前俩问推导过程中间的式子)。

如果第三问要你证明一个很突兀的式子,一时没思路的话你最好先看看前俩问自己的证明,可能就会灵光一现了。

二。直接给的函数,数列证明题。这个靠基础了,如拉格朗日,不动点,特征根等一些超纲的知识你知道要去用(一般从题目形式就能看出)。但最好别直接使用超纲定理,公式。那样会扣很多分,最好先自己给出证明。

三。见多识广。如利用 定积分定义证明数列和型不等式。。移动坐标系证明解析几何斜率的一些结论。。使用极坐标方程解决解析几何中焦半径系列问题。很多方法你只有做过了才知道,才会有条件反射。

四:回归基础,这个却是是王道。最多20分钟没思路的话就放了吧。

文章标签: # 不等式 # 2x # 解集