高考数学典型题-高考数学经典题型

1.求这些关于正态分布的高中数学题

2.今年高考数学题这么难，北大数学天才“韦神”能答满分吗？

3.高考数学常见的题型有哪些？

4.求高中三角函数数学题

5.高考数学空间几何 概率大题类型

求这些关于正态分布的高中数学题

正态分布

知识网络

1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；

2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；

3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

典型例题

例1：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 （ ）

A．n=4，p=0.6 B．n=6,p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1

答案：B。解析： ， 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到 的面积为( )。

A．95% B．50% C．.5% D．不能确定（与标准差的大小有关）

答案：B。解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）

A 32 B 16 C 8 D 20

答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，

。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。解析：设两数之积为X，

X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20

P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

∴E(X)=8.5.

（5）如图，两个正态分布曲线图：

1为 ，2为 ，

则 ， （填大于，小于）

答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 2 3

P

甲答对试题数ξ的数学期望

Eξ= .

（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的分别为A、B，则

P(A)= = ，P(B)= .

因为A、B相互独立，

方法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ．

方法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 .

X 1 2 3

P a 0.1 0.6

Y 1 2 3

P 0.3 b 0.3

例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，其分布列如下：

（1）求a,b的值；

（2）比较两名射手的水平.

答案：（1）a=0.3,b=0.4;

（2）

所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．

例4：一种游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。

答案：设取出的红球数为X，则X—H（6，6，12）， ，其中k=0,1,2,…,6

设赢得的钱数为Y，则Y的分布列为

X 100 50 20 —100

P

∴ ，故我们不该“心动”。

课内练习

1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A．0与1 B．1与0 C．0与0 D．1与1

答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数 与 ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A． 越大 B． 越小 C． 越大 D． 越小

答案： C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在 个数据 ，那么 是指

A． B． C． D． （ ）

答案：C。解析：由方差的统计定义知。

4．设 ， ， ，则 的值是 。

答案：4。解析： ，

5．对某个数学题，甲解出的概率为 ，乙解出的概率为 ，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）= 。

答案： 。解析： 。

∴ 。

6．设随机变量 服从正态分布 ，则下列结论正确的是 。

(1)

(2)

(3)

(4)

答案：(1),(2),(4)。解析： 。

7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V（X）= 。

答案： 。解析： ，按定义计算得 。

8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：

甲单位 1200 1400 1600 1800

概率 0.4 0.3 0.2 0.1

乙单位 1000 1400 1800 2200

概率 0.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。

答案： 由于E（甲）=E（乙），V（甲）<V（乙），故选择甲单位。

解析：E（甲）=E（乙）=1400，V（甲）=40000，V（乙）=160000。

9．交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为 ），求抽奖人获利的数学期望。

答案：解：因为 为抽到的2球的钱数之和，则 可能取的值为2，6，10.

， ，

设 为抽奖者获利的可能值，则 ，抽奖者获利的数学期望为

故，抽奖人获利的期望为- 。

10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.

（1）求该题被乙独立解出的概率；

（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差.

答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的记为A、B.

设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.

则P（A）=P1=0.6, P(B)=P2

0 1 2

P 0.08 0.44 0.48

，

，

或利用 。

作业本

A组

1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于 （ ）

A、4 B、5 C、4.5 D、4.75

答案：C。解析：X的分布列为

X 3 4 5

P 0.1 0.3 0.6

故E（X）=3 0.1+4 0.3+5 0.6=4.5。

2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ）

A． B．

C． D．

答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。

3．正态总体为 概率密度函数 是 （ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

答案：B。解析： 。

4．已知正态总体落在区间 的概率是0．5，那么相应的正态曲线在 时达到最高点。

答案：0.2。解析：正态曲线关于直线 对称，由题意知 。

5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。

答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4

故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6

6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。

解：X的分布列为

X 1 2 3

P

故 ， 。

7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX= ，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.

答案：解：由已知可得 ，故 ．

有Y的取值可以是0，1，2.

甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是 ，

甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是 ，

甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是

所以 ；

甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是 ，

甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是

所以 ，故

所以Y的分布列是

Y 1 2 3

P

所以 Y的期望是E（Y）= 。

8．一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元.

（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.

（2）求开发商盈利的最大期望值.

答案：解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.

（2）不召开新闻发布会盈利的期望值是 (万元)；

召开新闻发布会盈利的期望值是

（万元）

故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元..

B组

1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是 （ ）

A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5

答案：B。解析：X—B（10，0.05）， 。

2．若正态分布密度函数 ，下列判断正确的是 （ ）

A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值

C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值

答案：B。

3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布 ，那么考试成绩在区间 内的概率是 （ ）

A．0．6826 B．0．3174 C．0．9544 D．0．94

答案：C。解析：由已知X—N（100，36），

故 。

4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=________；V(X)= _________.

答案： ； 。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：

X 0 1 2 3 4

P

E(X)=0× +1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝

V(X)= × + × ＋ × ＋ × ＋ × － ＝

注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。

5．若随机变量X的概率分布密度函数是 ，则 = 。

答案：-5。解析： 。

6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。

解：∵X—B

X的标准差 。

7．某公司电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示：

电话同时打入次数X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

概率 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 0 0 0 0

若这段时间内，公司只安排2位接线员（一个接线员只能接一部电话）.

（1）求至少一路电话号不能一次接通的概率；

（2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”；

（3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X的数学期望.

答案：解：（1）只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是

1-0.13-0.35-0.27=0.25；

（2）“损害度” ；

（3）一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是4.87，所以一周内5个工作日打入电话数的期望是24.35..

8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？

答案：解：电池的使用寿命X—N(35.6,4.42)

则

即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。

今年高考数学题这么难，北大数学天才“韦神”能答满分吗？

对学渣来说，难不难没有太大的区别，反正都答不上来；对于学霸来说，题目难是难了点，但也就是要多费点心思，原本能提前20分钟做完的题目现在得掐着点完成。

对于数学成绩处于中间层次的那批考生来说就难过了，他们的成绩原本在120至135分之间，卷子中的难题做不出来但常规题的分数能拿到，今年发现难题数量增加了，做起来特别费劲。对于北大的“韦神”来说，高考数学简直就是小菜一碟，但是得满分却不一定。

如果不复习直接上考场还真不一定能考满分

我不是质疑韦东奕的数学能力，人家在北大数学圈子里都是响当当的人物，2021年获得了阿里达摩院颁发的青橙奖，“年轻”的时候参加数学竞赛获得奖牌犹如探囊取物。

这么一位数学天才难道参加今年的高考也不能拿满分？那么这不是从侧面证明了数学难于登天。其实并非如此，上过大学、学过高等数学的朋友应该有这么一点体会，大学后里的数学和高中学的根本就是两码事，一个重技巧、一个重研究，思维模式不同，重点也不同。

作为研究性人才，韦东奕的数学造诣早就突破了技巧的钻研，人家重视的是研究，探索数学的底层逻辑非形式上的东西。以这样的思维模式去参加高考，凭借着韦东奕的智商和数学底子考个高分没有问题，但满分就不一定了。

另外，技巧这个东西长期不用是会生熟的。我当年数学成绩也是不错的，大学里有关数学的7、8个科目均在90分以上（满分100分），但多年后的今天让我去考，能上70分就不错了。韦东奕再强也得遵循客观规律，技巧生疏是没有争议的事实。

当然，如果给韦东奕一些复习时间，比如一个月，让他稍微接触一下高考数学的解题技巧，我相信他是能拿到满分的，哪怕数学卷出得再难些也可以。

高考数学常见的题型有哪些？

高考数学常见的题型包括选择题、填空题、解答题和证明题。

1.选择题：选择题是高考数学中最常见的题型之一。题目会给出一个或多个陈述，要求考生从选项中选择正确的答案。选择题可以涉及数学概念、定理、公式等知识点，考察考生的理解和运用能力。

2.填空题：填空题要求考生根据题目给出的条件，填写空缺的数字或符号。填空题可以涉及代数、几何、概率等数学知识，考察考生的计算能力和推理能力。

3.解答题：解答题要求考生用文字或图形的形式给出问题的答案。解答题通常需要考生进行计算、推导和证明，考察考生的综合运用能力和解决问题的能力。

4.证明题：证明题要求考生根据已知条件，运用数学定理、公式和推理方法，证明一个命题的正确性。证明题主要考察考生的逻辑推理能力和数学思维能力。

除了以上常见的题型，高考数学还可能涉及到应用题、综合题等其他类型的题目。这些题型旨在考察考生对数学知识的掌握程度和应用能力，要求考生具备扎实的数学基础和灵活的思维能力。为了应对高考数学，考生需要熟悉各种题型的特点和解题方法，并进行大量的练习和复习。

求高中三角函数数学题

三角形中的三角函数式

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.

●难点磁场

(★★★★★)已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B. ，求cos 的值.

●案例探究

［例1］在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.

知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.

错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.

技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.

解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=

sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB?cos30°－cosACB?sin30° .

在△ACD中，据正弦定理得 ，

∴

答：此时船距岛A为 千米.

［例2］已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos ，f(x)=cosB( ).

(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；

(2)判断其单调性，并加以证明；

(3)求这个函数的值域.

命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.

知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.

错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.

技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意| |的范围.

解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤| |＜60°，∴x=cos ∈( ，1

又4x2－3≠0，∴x≠ ，∴定义域为( ， )∪( ，1］.

(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=

= ，若x1，x2∈( )，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0

即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈( ，1］，则4x12－3＞0.

4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.

即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在( , )和( ，1 上都是减函数.

(3)由(2)知，f(x)＜f( )=－ 或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域为(－∞，－ )∪［2，+∞ .

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；

(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则 的值为__________.

3.(★★★★)在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－ ，sinB= ，则cos2(B+C)=__________.

三、解答题

4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.

5.(★★★★★)如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k? ，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， .

(1)求角A的度数；

(2)若a= ，b+c=3，求b和c的值.

7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C= ，试求∠A、∠B、∠C的值.

8.(★★★★★)在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.

参考答案

难点磁场

解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.

设α= ，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，

依题设条件有

整理得4 cos2α+2cosα－3 =0(M)

(2cosα－ )(2 cosα+3)=0，∵2 cosα+3≠0，

∴2cosα－ =0.从而得cos .

解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°

①，把①式化为cosA+cosC=－2 cosAcosC ②，

利用和差化积及积化和差公式，②式可化为

③，

将cos =cos60°= ，cos(A+C)=－ 代入③式得：

④

将cos(A－C)=2cos2( )－1代入 ④：4 cos2( )+2cos －3 =0，(*)，

歼灭难点训练

一、1.解析：其中(3）(4）正确.

答案： B

二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

答案：

3.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.

∵cos(2A+C)=－ ，∴sin(2A+C)= .

∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB= .故cosB= .

即sin(A+C)= ，cos(A+C)=－ .

∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－ ，

∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= .

答案：

三、4.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：

S=S△ABD+S△CDB= ?AB?ADsinA+ ?BC?CD?sinC

∵A+C=180°，∴sinA=sinC

故S= (AB?AD+BC?CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA

由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB?AD?cosA=20－16cosA

在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB?CD?cosC=52－48cosC

∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，

∴64cosA=－32，cosA=－ ，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 .

5.解：R=rcosθ，由此得： ，

7.解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3ac

∴sin2B=3sinC?sinA=3(－ )［cos(A+C)－cos(A－C)］

∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ ［cos(A+C)－cos ］

即1－cos2(A+C)=－ cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ .

∵0＜A+C＜π，∴A+C= π.又A－C= ∴A= π，B= ，C= .

8.解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，

∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?

由正弦定理知： .∴BP=

在△PBD中， ,

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，

sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值 a，即AD最小，∴AD∶DB=2 －3.

高考数学空间几何 概率大题类型

（18）（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

(Ⅰ)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元，?表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望.

答案：(18)本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.……3分

（Ⅱ）?的可能值为8，10，12，14，16，且

P（?=8）=0.22=0.04,

P（?=10）=2×0.2×0.5=0.2,

P（?=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,

P（?=14）=2×0.5×0.3=0.3,

P（?=16）=0.32=0.09.

的分布列为

8?10?12?14?16

P?0.04?0.2?0.37?0.3?0.09

……9分

F?=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4千元）……12分

（19）本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑能力，满分12分。

解法一：

（I）证明：在正方体中，AD′?A′D,AD′⊥AB,又由已知可得

PF‖A′D，PH‖AD′,PQ‖AB,

所以PH⊥PF,PH⊥PQ,

所以PH⊥平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，……4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是

，是定值.

答案：（19）本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑能力，满分12分。

解法一：

（I）证明：在正方体中，AD′?A′D,AD′⊥AB,又由已知可得

PF‖A′D，PH‖AD′,PQ‖AB,

所以PH⊥PF,PH⊥PQ,

所以PH⊥平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，……4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是

，是定值.?8分

（III）解：连结BC′交EQ于点M.

因为PH‖AD′,PQ‖AB,

所以平面ABC′D′和平面PQGH互相平行，因此D′E与平面PQGH所成角与

D′E与平面ABC′D′所成角相等.

与（I）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值.

设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=l-b知

因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成?角，

所以?D′E=?即?，

解得?,可知E为BC中点.

所以EM=?，又D′E=?，

故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为?.

解法二：

以D为原点，射线DA、DC，DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF-l-b，故

A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），

P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0),?

F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).

（I）证明：在所建立的坐标系中，可得

因为?是平面PQEF的法向量.

因为?是平面PQGH的法向量.

因为?，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直?……4分

（II）证明：因为?，所以?，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得?

所以?，

所以截面PQEF和截面PQCH面积之和为?，是定值.?8分

（III）解：由已知得?角,又?可得

，

即?

所以?D′E与平面PQGH所成角的正弦值为

……12分