高考数学函数_高考数学函数压轴题

1.高三数学三角函数专题知识点

高考数学三角函数知识中的难点较多，很多学生都难以理解深刻。下面学习啦小编给大家带来高考数学三角函数重点考点，希望对你有帮助。

高考数学三角函数重点考点(一)

由解析式研究函数的性质

常见的考点：

求函数的最小正周期，求函数在某区间上的最值，求函数的单调区间，判定函数的奇偶性，求对称中心，对称轴方程，以及所给函数与y=sinx的图像之间的变换关系等等。

对于这些问题，一般要利用三角恒变换公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，然后再求相应的结果即可。

在这一过程中，一般要先利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的恒等式等将函数化为asinωx+bcosωx形式(其中常见的是两个系数a、b的比为1：1，1:1)，然后再利用辅助角公式，化为y=Asin(ωx+φ)即可。

高考数学三角函数重点考点

高考数学三角函数重点考点(二)

根据条件确定函数解析式

这一类题目经常会给出函数的图像，求函数解析式y=Asin(ωx+φ)+B。

A=(最大值-最小值)/2;

B=(最大值+最小值)/2;

通过观察得到函数的周期T(主要是通过最大值点、最小值点、“平衡点”的横坐标之间的距离来确定)，然后利用周期公式T=2π/ω来求得ω;

利用特殊点(例如最高点，最低点，与x轴的交点，图像上特别标明坐标的点等)求出某一φ';

最后利用诱导公式化为符合要求的解析式。

高考数学三角函数重点考点

高考数学重点考点

考点一：集合与简易逻辑

集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、 “充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数

函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数 、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的

高三数学三角函数专题知识点

高考数学:精解解函数的周期性（1）

一、正弦函数的周期

三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.

幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y =ax 无周期性，对数函数 y=logax无周期，

一次函数 y = kx+b、二次函数 y =ax2+bx+c、三次函数 y =ax3+bx2 +cx+d

无周期性.

周期性是三角函数独有的特性.

1、正弦函数 y=sin x的最小正周期

在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线

段MP.

正弦函数的周期性

动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置

和变化方向重现一次.

同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正

弦线的即时位置包括变化方向不会重现.

因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π.

2、y=sin（ωx）的最小正周期

设ω>0，y=sin（ωx）的最小正周期设为L .

按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ωL） = sinωx .

令ωx =x 则有sin （x + ωL） = sin x

因为sinx最小正周期是2π，所以有

例如 sin2x的最小正周期为

sin的最小正周期为

3、正弦函数 y=sin（ωx+φ）的周期性

对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin（ωx+φ）.

它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.

如的最小周期与 y =sin（3x）相同，都是.

于是，余弦函数的最小正周期与sinx的

最小正周期相同，都是2π.

二、复合函数的周期性

将正弦函数 y = sin x进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx

后者周期变为

而在以下的各种变换中，如

（1）初相变换sinωx → sin（ ωx+φ）；

（2）振幅变换sin（ωx +φ）→ Asin（ ωx+φ）；

（3）纵移变换 Asin（ ωx +φ） →Asin（ ωx+φ）+m；

后者周期都不变，亦即 Asin（ ωx +φ）+m与sin（ωx）的周期相同，都是.

而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定.

1、复合函数 f（sinx）的周期性

例题 研究以下函数的周期性：

（1）2sinx； （2）

（2）的定义域为〔2kπ，2kπ+π〕，值域为〔0，1〕，作图可知，它是最小正周期为

2π的周期函数.

解答 （1）2sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.

说明从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，logax，sinx，，

sin（sinx）都是最小正周期2π的周期函数.

2、y= sin3 x的周期性

对于y = sin3x=(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？

我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.

3、y= sin2 x的周期性

对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？

可以通过作图判定，分别列表作图如下.

高考数学:精解解函数的周期性（1）

一、正弦函数的周期

三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.

幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y =ax 无周期性，对数函数 y=logax无周期，

一次函数 y = kx+b、二次函数 y =ax2+bx+c、三次函数 y =ax3+bx2 +cx+d

无周期性.

周期性是三角函数独有的特性.

1、正弦函数 y=sin x的最小正周期

在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线

段MP.

正弦函数的周期性

动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置

和变化方向重现一次.

同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正

弦线的即时位置包括变化方向不会重现.

因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π.

2、y=sin（ωx）的最小正周期

设ω>0，y=sin（ωx）的最小正周期设为L .

按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ωL） = sinωx .

令ωx =x 则有sin （x + ωL） = sin x

因为sinx最小正周期是2π，所以有

例如 sin2x的最小正周期为

sin的最小正周期为

3、正弦函数 y=sin（ωx+φ）的周期性

对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin（ωx+φ）.

它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.

如的最小周期与 y =sin（3x）相同，都是.

于是，余弦函数的最小正周期与sinx的

最小正周期相同，都是2π.

二、复合函数的周期性

将正弦函数 y = sin x进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx

后者周期变为

而在以下的各种变换中，如

（1）初相变换sinωx → sin（ ωx+φ）；

（2）振幅变换sin（ωx +φ）→ Asin（ ωx+φ）；

（3）纵移变换 Asin（ ωx +φ） →Asin（ ωx+φ）+m；

后者周期都不变，亦即 Asin（ ωx +φ）+m与sin（ωx）的周期相同，都是.

而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定.

1、复合函数 f（sinx）的周期性

例题 研究以下函数的周期性：

（1）2sinx； （2）

（2）的定义域为〔2kπ，2kπ+π〕，值域为〔0，1〕，作图可知，它是最小正周期为

2π的周期函数.

解答 （1）2sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.

说明从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，logax，sinx，，

sin（sinx）都是最小正周期2π的周期函数.

2、y= sin3 x的周期性

对于y = sin3x=(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？

我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.

3、y= sin2 x的周期性

对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？

可以通过作图判定，分别列表作图如下.

图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2π.

4、sin2n x和sin2n-1 x 的周期性

y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.

因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x的周期也是π.

sin2x的周期，由cosx的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负得正”所致.

因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinmx的最小正周期为π；m = 2n–1时，

sinmx的最小正周期是2π.

5、幂复合函数举例

例1 求 y =|sinx|的最小正周期.

解答 最小正周期为π.

例2 求的最小正周期.

解答 最小正周期为2π.

例3 求的最小正周期.

解答 最小正周期为π.

说明 正弦函数sinx的幂复合函数.

当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.

三、周期函数的和函数

两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π.那么它们的和函数，

即 sinx + cos x的最小正周期如何？

和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.

对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？

1、函数 sinx + sin2 x的周期性

sinx的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？

列表如下.

表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.

2、函数 sinx + sin2x的周期性

依据上表，作sinx+sin2x 的图像如右.

从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，

sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后

者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动

函数”，但振幅已经不是常数了.

3、函数sinx+sinx的周期性

sinx的最小正周期为2π，sinx的最小正周期是3π.

们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？

不妨按周期定义进行检验. 设

则x0 +3π=

因此3π不是sinx + sinx的最小正周期.

通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数

图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2π.

4、sin2n x和sin2n-1 x 的周期性

y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.

因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x的周期也是π.

sin2x的周期，由cosx的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负得正”所致.

因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinmx的最小正周期为π；m = 2n–1时，

sinmx的最小正周期是2π.

5、幂复合函数举例

例1 求 y =|sinx|的最小正周期.

解答 最小正周期为π.

例2 求的最小正周期.

解答 最小正周期为2π.

例3 求的最小正周期.

解答 最小正周期为π.

说明 正弦函数sinx的幂复合函数.

当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.

三、周期函数的和函数

两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π.那么它们的和函数，

即 sinx + cos x的最小正周期如何？

和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.

对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？

1、函数 sinx + sin2 x的周期性

sinx的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？

列表如下.

表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.

2、函数 sinx + sin2x的周期性

依据上表，作sinx+sin2x 的图像如右.

从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，

sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后

者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动

函数”，但振幅已经不是常数了.

3、函数sinx+sinx的周期性

sinx的最小正周期为2π，sinx的最小正周期是3π.

们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？

不妨按周期定义进行检验. 设

则x0 +3π=

因此3π不是sinx + sinx的最小正周期.

通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数

已经进入高二上学期的同学们，在我们顺利度过高中的适应期，积极参与学校社团活动，逐步形成了自我学习模式，初步拟定人生规划后，要将自我的精力集中到学习上，应将自己的学业做到一个高度的时候了。我高二频道为你整理了《 高二数学 三角函数知识点》希望可以帮到你!

高三数学 三角函数专题知识点

锐角三角函数定义

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b

余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a

正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b

余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a

互余角的三角函数间的关系

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

积的关系：

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

锐角三角函数公式

两角和与差的三角函数：

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

推导公式：

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高三数学三角函数专题知识点

函数名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有

正弦函数sinθ=y/r

余弦函数cosθ=x/r

正切函数tanθ=y/x

余切函数cotθ=x/y

正割函数secθ=r/x

余割函数cscθ=r/y

正弦(sin):角α的对边比上斜边

余弦(cos):角α的邻边比上斜边

正切(tan):角α的对边比上邻边

余切(cot):角α的邻边比上对边

正割(sec):角α的斜边比上邻边

余割(csc):角α的斜边比上对边

三角函数万能公式

万能公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

万能公式为：

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2)(A≠2kπ+π，k∈Z)

tanA=2t/(1-t^2)(A≠2kπ+π，k∈Z)

cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2)k∈Z)

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.

高三数学三角函数专题知识点

三角函数关系

倒数关系

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscαcα

平方关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数;

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。

平方关系

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)

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