极坐标和参数方程高考题汇编,极坐标参数方程高考题

1.一道出现在练习“极坐标与直角坐标的互化”中的一道高中数学题目。

有点绕，不过也能做

曲线C的参数方程可以直接写出来

{x=2cosθ，

{y=3sinθ，（θ为参数）

所以设曲线C上的P点坐标为（2cosθ，3sinθ）

用点到直线距离公式，所以P到直线l的距离为

d=√5|4cosθ+3sinθ-6|/5

由几何关系可知，|PA|=d/sin30°=2√5|5sin（θ+α）-6|/5（这里用了辅助角公式，即asinθ+bcosθ=√（a?+b?）sin（θ+γ））

当sin（θ+α）=-1时，|PA|max=22√5/5

当sin（θ+α）=1时，|PA|min=2√5/5

一道出现在练习“极坐标与直角坐标的互化”中的一道高中数学题目。

设直线方程为 ｛x=1+t*cosα，y=1+t*sinα，其中 t 是参数，|t| 表示 M（x，y）到 P 的距离，

代入椭圆方程得 (1+t*cosα)^2/4+(1+t*sinα)^2=1 ，

化简得 [4(sinα)^2+(cosα)^2]*t^2+(2cosα+8sinα)t+1=0 ，

由二次方程根与系数的关系可得 t1*t2=1/[4(sinα)^2+(cosα)^2] ，

因此 |PP1|*|PP2|=|t1|*|t2|=|t1*t2|=1/[4(sinα)^2+(cosα)^2]

=1/[1+3(sinα)^2] ，

所以，当 sinα=1 即直线垂直于 x 轴时，|PP1|*|PP2| 最小为 1/4 ，

当 sinα=0 即直线平行于 x 轴时，|PP1|*|PP2| 最大，为 1 。

解：先化为极坐标方程　（ρcosθ/a)^2+(ρsinθ/b)^2=1 得

(1/ρ)＾2＝（cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2

　由题设　OA⊥OB　知极径 OA、OB的极角相差90°，

可得（1/|OA|·|0B|)^2=[(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2]*[(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2]

=(cosθ)^4/(ab)^2+(sinθ)^4/(ab)^2+(cosθsinθ)^2/a^4+(cosθsinθ)^2/b^4

=[(cosθ)^4+(sinθ)^4]/(ab)^2+[(1/a)^4+(1/b)^4](cosθsinθ)^2

=[1-2(cosθsinθ)^2]/(ab)^2+[(1/a)^4+(1/b)^4](cosθsinθ)^2

=(1/ab)^2-(sin2θ)^2/2(ab)^2+[(1/a)^4+(1/b)^4](sin2θ)^2/4

=(1/ab)^2+(1/4)*[(1/a)^4-2/(ab)^2+(1/b)^4]*(1-cos4θ)/2

注意到　－1≤cos4θ≤1　故可得　

(1/ab)^2≤（1/|OA|·|0B|)^2≤(1/ab)^2+(1/4)*[(1/a)^4-2/(ab)^2+(1/b)^4］

　　　　　　　　　　　＝(1/4)*[(1/a)^2+(1/b)^2］^2

最后得　　　ab≤|OA|·|0B|≤2(ab)^2/(a^2+b^2).

即　|OA|·|0B|的最大值和最小值分别为2(ab)^2/(a^2+b^2）和ab.