2001年高考数学试卷全国卷_2001年高考数学

1.江苏高考语文满分多少

2.求关于抽象函数的解题方法

750分。根据查询江苏高考的相关信息显示，2001年江苏高考总分是750分，“江苏新高考实行“3+1+2”模式，“3”即统一高考科目为语文、数学、外语3门；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”指从物理或历史科目中选择1门首选科目，“2”指从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门再选科目。

江苏高考语文满分多少

1、张镇风(1998年全国高考状元)

语文：150分

英语：150分

数学：148分

理综：300分

总分：748分

2、王端鹏(2004年山东省高考状元)

语文：138分

英语：142分

数学：149分

理综：300分

加分：20分

总分：749分

2004年，烟台二中学生王端鹏以729分的高分成为山东高考理科状元，当年他的理科综合考了满分300分；数学149分，仅失1分；语文138分，英语142分，单科成绩均名列全校第一。

3、冯宇宁(2005年陕西省高考状元)

语文：141分

数学：150分

英语：141分

理综：297分

总分：729分

2004年只报考北大落榜了

冯宇宁是长武县亭口乡人，曾在长武县亭口乡冯家村初级小学、亭口乡路家中心小学、乡路家中学就读。2001年，他以中考成绩530分的成绩考到西安。4年后，谁能想到，他竟然成为我省第一个从民办中学走出的高考状元。

杨凤玉校长说，冯宇宁家境贫寒，学习很刻苦，四年来学校一直减免了他的学费、杂费和住宿费，四年来他一直享受着学校的一等奖学金。去年，他的高考成绩是675分，但由于他只报考了北京大学一个志愿，结果落榜了。

冯宇宁很感激学校四年来给自己的照顾，他说如果没有学校的帮助和支持，自己不会有今天。为回报母校的恩情，他前几天还到延安为母校招生。

毕业后愿为农民做贡献

冯宇宁说，自己出生在一个地地道道的农民家庭，56岁的父亲冯存余有高血压，农活和家务都落在50岁的母亲高慧珍肩上，三个姐姐的状况也不好。他说，尽管家里经历了很多苦难，但全家人追求美好生活的念头从来没有放弃过。他认为，美好的生活“就是过上和城里人一样的生活”，他自信“全家的命运将从自己开始改变”。

记者采访中，他多次说到农村人供养孩子读书的艰辛。他说，家乡有个农民为了供养女儿读书，大冬天还满世界地在山里面寻着逮野鸡，因为一只野鸡能卖10元钱。由于平时积劳过度和营养贫乏，去年大年三十晚上喝了几杯酒后突发脑溢血，该农民正月初一去世时，家乡人都说是累死的。

冯宇宁在读高二时，曾听信社会上有些人说学习好的人长大后不会有大成就的传言，放松了学习，考试成绩滑到班里的第17名。父亲知道后，从家中跑来专门训了他一顿，父亲临走时那期盼的眼神一直烙在他的心底。从此他更加自觉刻苦学习。他认为，当状元只能说明从前，不能说明今后，大学只是一个平台。等到从清华毕业后，从农村出来的他“只想为农民做一些贡献”。

求关于抽象函数的解题方法

其他信息：

江苏高考满分是480分。

材料补充：

各考试科目分值如下，文科考试语文160、文科数学160、外语120；

理科考试科目语文160、理科数学160、外语120；

文科生有40分的语文附加题，理科生有40分的数学附加题。

江苏高考1994-1999年采用“3+2”模式：除考语、数、外三科外，文科生还要考政治、历史;理科生还得考物理、化学。

2000年-2001年采用“3+小综合”：文科生除了考语、数、外，还要考政治、历史、地理的综合卷;理科生则要考物理、化学、生物的综合卷。

2002年采用“3+大综合”：这个模式只在江苏实行了一年。考生除了考语、数、外三个单科外，还要考物理、化学、生物、政治、历史、地理六科的大综合卷。

2003年-2007年采用“3+1+1”：此模式在保留语文、数学、英语三门必考科目的前提下，前一个“1”是报考高校指定的选考科目，后一个1是指学生可以根据自己的兴趣和特长，从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门课中自由选择两门。这样的模式打破了文理分科，学生可以跨文理科选科，共有15种组合可以选择。

2008年-2019年采用3+2等级测试：在一般情况下，学生于高二时进行学业水平测试的必修科目测试，高三时进行学业水平测试的选修科目测试，必测、选测等级会影响考生的普通类高校报考资格及能否上本科、能否达到具体学校等级要求等。“2”的科目，不计分记等级。

抽象函数问题的题型综述

一. 求某些特殊值

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R上的函数 满足： 且 ，求 的值。

解：由 ，

以 代入，有 ，

为奇函数且有

又由

故 是周期为8的周期函数，

例2 已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时，

，求 在 上的值域。

解：设

且 ，

则 ，

由条件当 时，

又

为增函数，

令 ，则

又令

得

，

故 为奇函数，

，

上的值域为

二. 求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 ，试确定 的取值范围。

解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，

在 上是减函数，

由 得 。

（1）当 时，

，不等式不成立。

（2）当 时，

（3）当 时，

综上所述，所求 的取值范围是 。

例4 已知 是定义在 上的减函数，若 对 恒成立，求实数 的取值范围。

解：

对 恒成立

对 恒成立

对 恒成立，

三. 解不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。

例5 已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。

解：设 且

则

，

即 ，

故 为增函数，

又

因此不等式 的解集为 。

四. 证明某些问题

例6 设 定义在R上且对任意的 有 ，求证： 是周期函数，并找出它的一个周期。

分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出 （T为非零常数）则 为周期函数，且周期为T。

证明：

得

由（3）得

由（3）和（4）得 。

上式对任意 都成立，因此 是周期函数，且周期为6。

例7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。

证明： 对一切 有 。

且 ，令 ，得 ，

现设 ，则 ， ，

而

，

设 且 ，

则

即 为减函数。

五. 综合问题求解

抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。

例8 设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。

（1）证明 ；

（2）证明： 在R上是增函数；

（3）设 ，

，若 ，求 满足的条件。

解：（1）令 得 ，

或 。

若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾，

。

（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由

（3）由 得

由 得 （2）

从（1）、（2）中消去 得 ，因为

，

即

例9 定义在（ ）上的函数 满足（1），对任意 都有 ，

（2）当 时，有 ，

（1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调性；

（3）求证 。

分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

解：（1）对条件中的 ，令 ，再令 可得

，所以 是奇函数。

（2）设 ，则

，

，由条件（2）知 ，从而有 ，即 ，故 上单调递减，由奇函数性质可知， 在（0，1）上仍是单调减函数。

（3）

抽象函数问题分类解析

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。

1. 求定义域

这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

例1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。

分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得

或 。

例2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。

分析：因为 及 均相当于 中的x，所以

(1)当 时，则

(2)当 时，则

2. 判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。

例3. 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。

分析：在 中，令 ，

得

令 ，得

于是

故 是偶函数。

例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数

是偶函数。

证明：设 图象上任意一点为P（ ）

与 的图象关于原点对称，

关于原点的对称点 在 的图象上，

又

即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。

3. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是

A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为

C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为

分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

例6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下：

任取

因为 在 上是减函数，所以 。

又 是偶函数，所以

，

从而 ，故 在 上是增函数。

图2

4. 探求周期性

这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有

，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。

故 是周期函数，2c是它的一个周期。

5. 求函数值

紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成立，若 ，则 _______。

分析：在条件 中，令 ，得

，

又令 ，

得 ，

例9. 已知 是定义在R上的函数，且满足： ，

，求 的值。

分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是

，

所以

故 是以8为周期的周期函数，从而

6. 比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例10. 已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。

分析： 且 ，

又 时， 是增函数，

是偶函数，

故

7. 讨论方程根的问题

例11. 已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个实根，则这三个实根之和是_______。

分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。

又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。

8. 讨论不等式的解

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。

分析：由单调性，脱去函数记号，得

由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有

9. 研究函数的图象

这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。

例13. 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_______对称。

分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。

例14. 若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点______。

分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。

10. 求解析式

例15. 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数

A. B. C. D.

分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。

点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。

又 ，

即 ，选B。

抽象函数的周期问题

——由一道高考题引出的几点思考

2001年高考数学（文科）第22题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称。对任意 都有 。

（I）设 求 ；

（II）证明 是周期函数。

解析：（I）解略。

（II）证明：依题设 关于直线 对称

故

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期

是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称

又 的图象关于 对称，可得 是周期函数

且2是它的一个周期

由此进行一般化推广，我们得到

思考一：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于直线 对称

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于直线 对称

将上式的 以 代换得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”， 还是不是周期函数？经过探索，我们得到

思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且4是它的一个周期。，

证明： 关于 对称

又由 是奇函数知

将上式的 以 代换，得

是 上的周期函数

且4是它的一个周期

是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图象关于直线 对称，可得 是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于点 对称

关于直线 对称

将上式中的 以 代换，得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则 是 上的周期函数。进一步我们想到，定义在 上的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那么 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于 对称

将上式中的 以 代换，得

是周期函数

且 是它的一个周期